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    “乘法分配律”的教法和难点分析

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    乘法分配律是乘法运算律中学生学习最为困难的部分,其困难性源于乘法分配律较乘法交换律和结合律组成要素多了,展开算式步骤多了。不但出现加法和乘法两三步混合运算,变式类型较多,应用范围也更为广泛。
    苏教版教材为了分散教学难点,将乘法乘法交换律和结合律安排在四年级上册与加法交换律和结合律作为“运算律”的一部分先行教学,而把乘法分配律放在四年级下册教学。这样把名称相同、学生容易接受的加法和乘法的交换律与结合律结合在一起教学,有利于学生理解和掌握。然而,乘法交换律和结合律与乘法分配律相隔一个学期教学,可能会削弱知识的内在逻辑联系,教学时应注意及时联系已学的加法和乘法交换律、结合律,将乘法分配律纳入运算律的概念系统之中,整合认知结构。
    一、对从乘法计算提取乘法分配律的教法认识
    两三位整数乘法竖式计算,其实就是依据乘法分配律原理而构建的笔算步骤。笔算乘法竖式的算理基础是乘法分配律,这是乘法分配律与多位整数乘法竖式之间客观存在的逻辑关系。
    有教师教学时让学生举出若干个两位整数乘一位数的算例,然后要求学生分析解读每个竖式笔算的过程,归纳概括其中存在的乘法分配律。这样教学的确新颖独特,优越性有三点:一是学生自我举例,主体性得到体现;二是强化了对已经掌握乘法竖式的进一步理解,体会到运算律的普遍意义;三是推导思维的起点提高了,打破了通常从实际问题解答出发,建立乘法分配律的教学模式,压缩了对乘法分配律展开式两端相等的确认理解过程,使得教学过程变得简洁、快捷。
    教材是以图文结合的实际问题引出乘法分配律的:夹克衫每件65元,裤子每条45元。要买5件夹克衫和5条裤子,一共要付多少元?从乘法竖式中提取乘法分配律的教学构思与教材不同。直接从笔算乘法竖式的分步考察,提出乘法分配律,放弃插图形象感知,丢开具体问题事理性的基础,直接抽取数据的最一般意义,削弱了乘法分配律的理解根基。中年级学生抽象思维的发展水平可能对此还是存在困难的。有的教师认为,“乘法分配律这一课,不需要经验的改造”,教学“这一课不需要从学生的生活中获得数学素材,而只要通过教师提供的一些材料让学生来观察、猜测、讨论、抽象即可。”这是不能苟同的!
    更为重要的是,用乘法竖式计算的过程提取乘法中存在的分配律,似乎混淆了逻辑关系。运算律是人们发现的、伴随运算本身而存在的客观规律,乘法竖式的方法只是依据运算律(只是当时不明示而已)人为规定的运算程序。从笔算乘法竖式的分步考察理解提取出乘法分配律,在认识论上颠倒了主客观的关系,陷入“循环论证”的逻辑陷阱。
    有教师将乘法分配律表述为“两个数的和与一个数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相加。这叫作乘法分配律。”其中的“可以先把”是用对规律应用的选择性来表述规律的客观必然性,这样表述似乎不够恰当,宜于改为“与……两者相等”。这其实也是混淆了规律与技能之间上下位逻辑关系的表现。有教师教学时认为“数学建模要让学生‘跟着感觉走’”,其实,对计算规律的建模,固然需要感觉,更需要依赖理性思考的参与。因为规律反映事物的本质。感觉只指向现象,而理性才触及本质。建模教学中,除了倡导学生“跟着感觉走”以求教学自然流畅以外,更应要求学生深刻思辨,分析综合,抽象概括,进行合乎逻辑的判断推理。
    二、应用乘法分配律进行简便计算的变式分类
    如前所述,乘法分配律理解和掌握的困难,除了因为它的构成要素多,展开式复杂,更在于应用中的变化类型较多。教学时只有清晰地把握这些变式类型,才能在应用乘法分配律特别是应用其进行简便计算教学时,左右逢源,化难为易。笔者根据自身多年教学经验,以一般字母表达式(a+b)×c=a×c+b×c为基本式展开分析,试作如下分类:
    (1)在乘法分配律中套用乘法交换律的变式。这就是将乘法分配律基本式左边“(a+b)×c”变化为“c×(a+b)”,即需要变化为:c×(a+b)=c×a+ c×b。虽然这样的变化是较简单的,但是,对于初学学生来说,还是具有了一定困难性。这需要教者有意识地做出多次安排,并要组织学生进行分辨对比。
    (2)延展乘法分配律项数的变式。这是顺次增加项数的变化。比如,将两数和与一个数相乘,变为三四个数的和与一个数相乘。即:(a+b+c)×d=a×d +b×d + c×d。
    (3)两个数的和变为两个数差的变式。这是在同级运算之间的拓展,比如(ab)×c=a×cb×c。更何况,有些算式的呈现,并非合乎乘法分配律展开式的基本样式,需要学生自我主动地作出变式改造性处理,才能合于乘法分配律的题型题境。比如,97×4,进行简便计算需要学生把97改写成“(100-3)”。
    (4)乘法分配律的反向变化。即要让学生既能从左向右,也习惯于从右向左。要让学生善于从计算简捷性要求出发,灵活地选择应用乘法分配律展开式的可逆变化方向。这是训练学生提高计算技能的重要途径。
    (5)特殊数1参与展开的变化式。即(a+1 )×b=a×b+b×1。尤其是反向理解,要求学生把一个确定的数,看作是一个算式,是这个数与1的积。学生对此会很不习惯。比如,56×99+56,要求学生把56看作“56×1”,这样原式变成56×99+56×1。
    (6)乘法分配律在小数与分数计算中的变式应用。乘法分配律应用于计算,不仅出现于该知识点安排的当时,更是广泛应用于其后的计算实践中。及至小数和分数计算中,应用乘法分配律又会出现新的变式,更加增加了难度。比如,将小数计算中的小数点变化,使之适合使用乘法分配律,如56.2+5.62×90。在分数乘除法计算中,对乘除法作互逆变换,使之适合使用乘法分配律,如,4÷2/3+96×3/2。
    以上变式类型,教师需要在教学中有意识、有计划地呈现,引导学生认真审题,并通过比较辨析,强化理解。经过一段时间的练习后,学生才可能逐步把握乘法分配律的本质内涵,在简便计算以及解决问题时“以不变应万变”。
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